当ブログ内でガウス積分(オイラー＝ポアソン積分)の公式を用いる際に self-contained でリファレンスを張るためと, 個人的な学習の記録として, 本エントリにてガウス積分の公式とその証明について書く¹$.$ 筆者自身にとっての分かりやすさを優先しているため, 若干冗長的な記述があるかもしれない点に注意.

証明:

$$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$$ とおく. ここで, 最終的に $\pi$ を出現させるために, 直交座標系から極座標系への移行を行いたい. そのために, まず二乗して

$$I^2=\displaystyle\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)^2= \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)\cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)$$

文字を変えても積分値に変わりはないから

$$I^2=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)\cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\right)= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy$$

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta, dx\ dy=rdrd\theta$ とし²

もともと $I$ は被積分関数の関数形であり, 定義域は $I > 0$ だから, $I=\sqrt{\pi}$. $\square$

2 乗して $x^2+y^2=r^2$³ を出現させ, 極座標での表現を開始する流れは, 胸熱であった. さて, 以下はガウス積分の公式に関連した, いくつかの等式について示すこととする.

証明:

$y=\sqrt{a}x, dy=\sqrt{a}dx$ とし,

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a}}dy=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\label{eq:first}\tag{1}$$ $\eqref{eq:first}$ の最右辺をみるとガウス積分の公式と全く同じなので, $\eqref{eq:first}=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$. $\square$

証明:

単にガウス積分の類似形 1の半分の領域となるだけなので, $\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$. $\square$

参考文献

• 「ガウス積分の公式の 2 通りの証明」 2018 年 9 月 26 日アクセス.
• 「C. 極座標」 2018 年 9 月 26 日アクセス.